Fuzzy Logic

Logika fuzzy yang pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh, memiliki derajat keanggotaan dalam rentang 0(nol) hingga 1(satu), berbeda dengan logika digital yang hanya memiliki dua nilai yaitu 1(satu) atau 0(nol). Logika fuzzy digunakan untuk menerjemahkan suatu besaran yang diekspresikan menggunakan bahasa (linguistic), misalkan besaran kecepatan laju kendaraan yang diekspresikan dengan pelan, agak cepat, cepat dan sangat cepat. Secara umum dalam sistem logika fuzzy terdapat empat buah elemen dasar, yaitu:

Basis kaidah (rule base), yang berisi aturan-aturan secara linguistik yang bersumber dari para pakar;
Suatu mekanisme pengambilan keputusan (inference engine), yang memperagakan bagaimana para pakar mengambil suatu keputusan dengan menerapkan pengetahuan (knowledge);
Proses fuzzifikasi (fuzzification), yang mengubah besaran tegas (crisp) ke besaran fuzzy;
Proses defuzzifikasi (defuzzification), yang mengubah besaran fuzzy hasil dari inference engine, menjadi besaran tegas (crisp).

Fuzzy Membership

Jika X adalah suatu kumpulan obyek-obyek dan x adalah elemen dari X. Maka himpunan fuzzy A yang memiliki domain X didefinisikan sebagai:

(1)

dimana nilai berada dalam rentang 0 hingga 1.

Terdapat dua cara yang lazim dalam merepresentasikan himpunan fuzzy, yang dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu :

1. , jika X adalah merupakan koleksi objek diskrit.

2. , jika X adalah merupakan koleksi objek kontinyu.

Gambar 1. Fungsi keanggotaan dengan semesta pembicaraan, (a).diskrit, (b).kontinyu.

Fuzzy Membership Operation

Seperti pada himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki operasi himpunan yang sama yaitu gabungan (union), irisan (intersection) dan komplemen. Sebelumnya akan didefinisikan dulu mengenai himpunan bagian yang memiliki peranan penting dalam himpunan fuzzy.

Union (Gabungan)

Gabungan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C ditulis sebagai atau , memiliki fungsi keanggotaan yang berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

; (2)

dengan adalah operator biner untuk fungsi S dan biasa disebut sebagai operator T-conorm atau S-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

S(1,1) = 1, S(0,a) = S(a,0) = a (boundary);

S(a,b)

S(c,d) jika a

c dan b

d (monotonicity);

S(a,b) = S(b,a) (commutativity);

S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c) (associativity).

Intersection (Irisan)

Irisan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C dituliskan sebagai atau , memiliki fungsi keanggotaan yang berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

;

, (3)

dengan adalah operator bineri untuk fungsi T, yang biasa disebut sebagai operator T-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

T(0,0) = 0, T(a,1) = T(1,a) = a (boundary);

T(a,b)

T(c,d) jika a

c dan b

d (monotonicity);

T(a,b) = T(b,a) (commutativity);

T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) (associativity).

Fuzzy Set Membership Function

Fungsi-fungsi keanggotaan fuzzy terparameterisasi satu dimensi yang umum digunakan diantaranya adalah:

1. Fungsi keanggotaan segitiga, disifati oleh parameter{a,b,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

(4)

bentuk yang lain dari persamaan di atas adalah

(5)

parameter {a,b,c} (dengan a<b<c) yang menentukan koordinat x dari ketiga sudut segitiga tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(a).

2. Fungsi keanggotaan trapesium, disifati oleh parameter{a,b,c,d} yang didefinisikan sebagai berikut:

(6)

parameter {a,b,c,d} (dengan a<b<c<d) yang menentukan koordinat x dari keempat sudut trapesium tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(b).

3. Fungsi keanggotaan Gaussian, disifati oleh parameter {c,s} yang didefinisikan sebagai berikut:

(7)

Fungsi keanggotaan Gauss ditentukan oleh parameter c dan s yang menunjukan titik tengah dan lebar fungsi, seperti terlihat pada Gambar 2(c) .

Gambar 2. Kurva fungsi keanggotaan, (a).segitiga(x;20,50.80), (b).trapesium (x;10,30,70,90), (c).gaussian(x;50,15), (d).bell(x;10,2,50), (e).sigmoid (x;0.2,50) dan (f).sigmoid(x;-0.2,50).

4. Fungsi keanggotaan generalized bell, disifati oleh parameter {a,b,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

(8)

parameter b selalu positif, supaya kurva menghadap kebawah, seperti terlihat pada Gambar 2(d).

5. Fungsi keanggotaan sigmoid, disifati oleh parameter {a,c} yang didefinisikan sebagai berikut:

(9)

parameter a digunakan untuk menentukan kemiringan kurva pada saat x = c. Polaritas dari a akan menentukan kurva itu kanan atau kiri terbuka, seperti terlihat pada Gambar 2.(d) dan 2.(e).

Fuzzy IF-Then Rule

Kaidah fuzzy If-Then (dikenal juga sebagai kaidah fuzzy, implikasi fuzzy atau pernyataan kondisi fuzzy) diasumsikan berbentuk:

Jika x adalah A maka y adalah B (10)

Dengan A dan B adalah nilai linguistik yang dinyatakan dengan himpunan fuzzy dalam semesta pembicaraan X dan Y. Sering kali “x adalah A” disebut sebagaiantecedent atau premise, sedangkan “y adalah B” disebut consequence atau conclusion.

Kaidah fuzzy if-then “jika x adalah A maka y adalah B” sering kali disingkat dalam bentuk A

B yang merupakan suatu bentuk relasi fuzzy biner R pada produk ruang X ´ Y. Terdapat dua cara untuk menyatakan A

B, yaitu sebagai A coupled with B dan A entails B. Jika dinyatakan sebagai A coupled with B maka didefinisikan sebagai berikut:

dengan

adalah operator T-norm. Sedangkan jika dinyatakan sebagai A entails B maka didefinisikan sebagai berikut:

- material implication:

; (11)

- propositional calculus:

; (12)

- extended propositional calculus:

; (13)

- generalization of modus ponens:

; (14)

dengan R=A

B dan adalah operator T-norm.

Fuzzy Reasoning

Kaidah dasar dalam menarik kesimpulan dari dua nilai logika tradisional adalah modus ponens, yaitu kesimpulan tentang nilai kebenaran pada B diambil berdasarkan kebenaran pada A. Sebagai contoh, jika A diidentifikasi dengan “tomat itu merah” dan B dengan “tomat itu masak”, kemudian jika benar kalau “tomat itu merah” maka “tomat itu masak”, juga benar. Konsep ini digambarkan sebagai berikut:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A,
premise 2 (kaidah)	:	jika x adalah A maka y adalah B.
Consequence (kesimpulan)	:	y adalah B.

Secara umum dalam melakukan penalaran, modus ponens digunakan dengan cara pendekatan. Sebagai contoh, jika ditemukan suatu kaidah implikasi yang sama dengan “jika tomat itu merah maka tomat itu masak”, misalnya “tomat itu kurang lebih merah,” maka dapat disimpulkan “tomat itu kurang lebih masak”, hal ini dapat dituliskan seperti berikut:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A',
premise 2 (kaidah)	:	jika x adalah A maka y adalah B.
Consequence (kesimpulan)	:	y adalah B'.

Dengan A’adalah dekat ke A dan B’adalah dekat ke B. Ketika A, B, A’ dan B’adalah himpunan fuzzy dari semesta yang berhubungan, maka penarikan kesimpulan seperti tersebut dinamakan penalaran dengan pendekatan (approximate reasoning) yang disebut juga dengan generalized modus ponens (GMP).

Untuk mendefinisikan penalaran fuzzy, dimisalkan A, A’ dan B adalah himpunan fuzzy dari X, X dan Y, dengan A

Badalah suatu relasi R pada XxY. Kemudian himpunan fuzzy B diinduksikan oleh “x adalah A” dan kaidah fuzzy “jika x adalah Amaka y adalah B” didefinisikan sebagai berikut:

(15)

atau sama dengan

(16)

Kaidah Tunggal dengan Antecedent Tunggal

Kaidah tunggal dengan antecedent tunggal merupakan contoh yang paling sederhana dari formula pada Persamaan (15) dan setelah disederhanakan, Persamaan (15) menghasilkan persamaan berikut:

(17)

dengan persamaan ini, terlebih dahulu dicari nilai maksimum dari (daerah warna gelap pada bagian antecedent pada Gambar 3), selanjutnya fungsi keanggotaan B' adalah bagian warna gelap pada Gambar 3 yang merupakan fungsi keanggotaan B yang terpotong oleh w.

Gambar 3. Penjelasan secara grafis dari GMP menggunakan implikasi Mamdani dan komposisi max-min.

Kaidah Tunggal dengan Antecedent Jamak

Kaidah fuzzy if-then dengan dua antecedent, biasanya ditulis sebagai “jika x adalah A dan Y adalah B maka z adalahC”. Masalah yang berhubungan dengan GMP dijelaskan dengan:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A' dan y adalah B',
premise 2 (kaidah)	:	jika x adalah A dan y adalah B makaz adalah C.
Consequence (kesimpulan)	:	z adalah C'.

Kaidah fuzzy pada premise 2 dapat dibawa ke bentuk sederhana yaitu “AxB

C ” yang kemudian dapat diubah menjadi relasi fuzzy ternary R_m, berdasarkan fungsi implikasi Mamdani yaitu:

(18)

C' yang dihasilkan dapat dinyatakan sebagai

sehingga

(19)

dimana w₁ dan w₂ adalah nilai maksimum dari fungsi keanggotaan A ∩ A’ dan B ∩ B’. Secara umum w₁ adalah merupakan derajat kompatibilitas antara A dan A’, demikian juga dengan w₂. Karena bagian antecedent pada kaidah fuzzy dibangun dengan penghubung “and”, maka w₁

w₂ disebut firing strength atau derajat pencapaian dari kaidah fuzzy, yang menggambarkan derajat pencapaian dari kaidah untuk bagian antecedent. Secara grafis, proses ini ditunjukan oleh Gambar 4, dimana MF yang dihasilkan yaitu C’ adalah sama dengan MF C yang dipotong oleh firing strength w.

Gambar 4. Aproximate reasoning untuk antecedent jamak.

Kaidah Jamak dengan Antecedent Jamak

Untuk menjelaskan kaidah jamak, biasanya menganggap sebagai gabungan dari relasi fuzzy yang berhubungan dengan kaidah fuzzy. Karena itu, permasalahan GMP dituliskan sebagai:

premise 1 (kenyataan)	:	x adalah A' dan y adalah B',
premise 2 (kaidah 1)	:	jika x adalah A₁ dan y adalah B₁maka z adalah C₁.
Premise 3 (kaidah 2)	:	jika x adalah A₂ dan y adalah B₂maka z adalah C₂.
Consequence (kesimpulan)	:	z adalah C'.